2010级理科通识教育阶段课程
《微分方程》教学指导性意见（2.5学分，40课时）
教 材：钱祥征、黄立宏主编：常微分方程，湖南大学出版社，2007.
教学指导性意见提出教学的基本内容和教学要求，是教学和考试的依据。学时的分配供教师教学时参考，教师根据此意见制订教学日历。
教学要求的程度，对于概念和理论方面，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述，对于方法、运算和能力方面，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。
一、常微分方程的基本概念（2学时）
1．了解微分方程，了解微分方程的阶、线性和非线性，微分方程的解、通解、初始条件和特解等概念。
2．会建立一些简单的几何和物理问题的微分方程模型（教学中须结合下面内容介绍一些简单的几何和物理问题的微分方程模型）。
二、一阶常微分方程的初等积分法（12学时）
1．能识别下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、恰当方程。
2．熟练掌握变量可分离的方程、一阶线性方程和恰当方程的解法，了解常数变易的思想。
3．掌握齐次方程和伯努利方程的解法，从中了解用变量代换求解方程的思想。
4．知道求解非恰当方程的积分因子法和求解一阶隐式方程的参数引入法。
三、高阶常微分方程（10学时）
1．掌握线性常微分方程通解的结构以及高阶线性微分方程求解的常数变易法。
2．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
3．掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。知道高阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
4．知道线性常微分方程的幂级数解法。
5．掌握一些可降阶的高阶方程的降阶法。
四、一阶常微分方程组（8学时）
1．了解线性常微分方程组通解的结构，会用常数变易法求解线性常微分方程组。
2．会求常系数线性方程组的通解。
五、解的存在唯一性定理与定性分析初步（6学时）
1．了解李普希兹(Lipschitz)条件和常微分方程解的存在唯一性定理。知道高阶线性微分方程和线性微分方程组解的存在唯一性定理。
2．知道常微分方程近似解的求法和解的延拓的概念。
数学与计量经济学院 高等数学研究所
2011-09-05
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