2010级理科通识教育阶段课程《复变函数》教学
指导性意见（2.5学分，40课时）
教材：湖南大学数学与计量经济学院组编：大学数学5（第2版），高等教育出版社，2010.07
教学指导性意见提出教学的基本内容和教学要求，是教学和考试的依据。学时的分配供教师教学时参考，教师根据此意见制订教学日历。
教学要求的程度，对于概念和理论方面，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述，对于方法、运算和能力方面，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。
一、复数（第一章，4课时）
1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。
2．了解区域和约当（Jordan）曲线的概念。
二、复变函数（第二章，8课时）
1．理解复变函数的概念，知道复变函数的极限和连续性。
2．理解复变函数的导数及复变函数解析的概念,熟练掌握复变函数解析的充要条件。
3．了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质（包括在单值域中的解析性）。
三、复变函数的积分（第三章，8课时）
1．理解复变函数积分的概念，了解其性质，会求复变函数的积分。
2．理解柯西（Cauchy）积分定理，掌握柯西积分公式和高阶导数公式。知道解析函数无限次可导的性质。
3．了解调和函数与解析函数的关系。掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。
四、复级数（第四章，8课时）
1．理解复数序列与复数级数收敛的概念。
2．了解幂级数收敛圆的概念。掌握简单的幂级数收敛半径的求法。知道幂级数在收敛圆内一些基本性质。
3．了解泰勒（Taylor）定理。
4．掌握、、、的麦克劳林（Maclaurin）展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。
5．了解洛朗（Laurent）定理，掌握将简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数的间接方法。
五、留数（第五章，6课时）
1．了解孤立奇点的概念，掌握孤立奇点的分类（包括无穷远点）。
2．理解留数的概念，掌握极点处留数的求法。
3．理解留数定理。
4．掌握用留数求围道积分的方法。会用留数求一些实积分。
六、共形映射（第六章，6课时）
1．了解导数的几何意义及共形映射的概念。
2．掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性。
3．知道（为正有理数）和的映射性质。
4．会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的共形映射。
数学与计量经济学院高等数学研究所
2011-09-05
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